불확정성 원리

불확정성 원리는 베르너 하이젠베르크가 제안한 물리학 이론이다. 물리학에서 기본적으로 입자의 위치 와 운동량 은 특정한 정확도 이상으로 동시에 측정되지 않는다는 의미이다. 거시세계에서는 고전역학을 전제로 속도와 거리를 통해 운동량을 정확히 측정할 수 있다. ($p = mv$) 하지만 미시세계에서는 전자가 너무 작기 때문에 우리가 빛을 이용하여 전자의 위치와 운동량을 측정하려고 하면 전자는 빛 의 영향을 받아 측정이 부정확해지는 것이다. 그래서 우리는 전자의 위치를 확률적으로만 측정할 수 있는 것이다. 불확정성 원리를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$

$\sigma_x = \sqrt{\langle (X-\langle X\rangle)^2\rangle}$ 이고 $\sigma_p = \sqrt{\langle (P-\langle P\rangle)^2\rangle}$ 이다. 위치와 운동량의 평균에 대한 제곱평균제곱근편차이다.

기존에 측정가능한 것들만 이론으로 삼는 실증주의에 찬물을 끼얹는 이론이다.

수소원자의 에너지

보어의 원자모형에서 궤도와 운동량, 에너지 등은 양자화 되어 있는 값만 허용된다. 연속적인 에너지를 갖지 않는 것은 꽤나 혁명적인 발상이었지만 이를 뒷받침할 근거가 부족했다.

수소원자의 에너지 준위

러더퍼드 원자모형 같이 원자핵 주위를 전자가 돌고 있을 때, 회전운동의 각 운동량은 $m_e v r$ 이다.

에너지 준위를 계산하기 위해 정상상태의 가설을 이용한다. 먼저 드브로이 물질파 방정식은 파장($\lambda$)과 진동수의 운동량($p$)과 에너지에 관한 식인데, 다음과 같다.

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$

전자가 원자핵 주위를 원형으로 돌고 있을 때, 이렇게 갇혀있는 파동은 정상파의 상태로 있을 수 있다는 정상상태의 가설를 적용하면 원주는 파장의 정수배와 같다. (정수배가 아니라면 파동이 해당 궤도에서 닫혀있지 않게된다.)

$2\pi r = n\lambda$

물질파 방정식을 대입하면 정상상태의 가설을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$2\pi r = n\frac{h}{mv}$

회전운동의 각 운동량은 $m_e vr$이므로 다음과 같은 식이 완성된다.

$p = m_e vr = n\frac{h}{2\pi}$

여기서 n은 자연수이다. 이제 에너지를 구하기 위해 구심력 = 쿨롱에너지를 적어보면 다음과 같다.

$\frac{m_e v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$

그리고 이 식을 반지름($r$) 에 대해서 정리하자.

$r = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 mv^2}$

그리고 정상상태의 가설을 $v$ 에 대해 정리하면,

$v = \frac{nh}{2\pi m r} = \frac{n\hbar}{mr}$

이 두 식을 결합하자.

$r = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m (\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2})}$

$r = \frac{m^2r^2e^2}{4\pi \epsilon_0 m n^2\hbar^2}$

$r = \frac{4\pi\epsilon_0 m n^2 \hbar^2}{m^2e^2}$

$r = \frac{4\pi\epsilon_0 n^2 \hbar^2}{me^2} = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi me^2} n^2 = 5.292 \times 10^{-11} n^2 \text{m}$

궤도반경이 $n$ 에 따라 제한되는 것을 알 수 있다. $n=1$ 일 때, $r$ 을 보어 반지름이라고 하고 값은 $5.292 \times 10^{-11} \text{m}$ 이다.

에너지를 구하기 위해 속력 ($v$) 를 구하면,

$v = \frac{nh}{2\pi mr} = \frac{nh}{2\pi mr}\frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2} = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n}$

전체 에너지는 속력에너지 + 위치에너지(쿨롱에너지) 이다.

$E = \frac{1}{2}m_e v^2 + (-\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{e^2}{r})$

$E = \frac{1}{2}m_e(\frac{e^2}{2\epsilon_0 h n})^2 + (-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{\frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m_e e^2}}) = - \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2 n^2}$

이를 계산하면,

$E = -\frac{13.6}{n^2} eV$

가 도출된다.

수소원자의 최소에너지는 $n=1$ 일 때이므로,

$E = -13.6 eV$ 이다.